Question

已知

1

m

+

1

n

=1（m＞0，n＞0），當(dāng)mn取得最小值時(shí)，直線y=-

2

x+2與曲線

x|x|

m

+

y|y|

n

=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

2

．

Answer 1

分析：由基本不等式可求mn取得最小值時(shí)的m，n的值，然后討論：當(dāng)x＞0，y＞0；②當(dāng)x＞0，y＜0，③當(dāng)x＜0，y＞0；④當(dāng)x＜0，y＜0四種情況分別求出方程所表示的曲線，作出圖象能得到結(jié)果

解答：解：由基本不等式可得，1=

1

m

+

1

n

≥2

1 mn

∴mn≥4
當(dāng)且僅當(dāng)

1

m

=

1

n

=

1

2

時(shí)等號成立，
也就是所以m=2，n=2．
∵曲線

x|x|

m

+

y|y|

n

=1
∴①當(dāng)x＞0，y＞0，x²+y²=2表示 圓心在原點(diǎn)，半徑為

2

的圓
②當(dāng)x＞0，y＜0，x²-y²=2 以x軸為實(shí)軸的雙曲線；
③當(dāng)x＜0，y＞0，y²-x²=2表示以y軸為實(shí)軸的雙曲線；
④當(dāng)x＜0，y＜0，x²+y²=-2此時(shí)無解．
所以如圖得到圖象，
結(jié)合圖象知直線y=-

2

x+2與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)．
故答案為：2．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意均值定理和分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，常因分類不清易出錯(cuò)，是高考的重點(diǎn)．