Question

已知定點(diǎn)A（-3，0），兩動(dòng)點(diǎn)B、C分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng)，且滿足

AB

•

BC

=0，

CQ

=2

BC

，
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E的方程；
（2）過點(diǎn)G（0，1）的直線l與軌跡E在x軸上部分交于M、N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與x軸交于D點(diǎn)，求D點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)B、C、Q的坐標(biāo)分別為（0，b）、（c，0）、（x，y），由已知得

3c-b2=0 x-c=2c y=-2b

，由此得動(dòng)點(diǎn)E的軌跡E的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為x=k（y-1），代入軌跡E的方程y²=4x中，整理得y²-4ky+4k=0，由已知得（4k）²-4×4k＞0且k＞0，解得k＞1．由根與系數(shù)的關(guān)系可得MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（k（2k-1），2k）．由此能求出D點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)B、C、Q的坐標(biāo)分別為（0，b）、（c，0）、（x，y），

則有 AB =(3，b). BC =(c，-b)， CQ =(x-c，y) 由已知得 3c-b2=0 x-c=2c y=-2b 消去b，c得y2=4x， 即動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E的方程是y2=4x．

（2）設(shè)直線l的方程為x=k（y-1），代入軌跡E的方程y²=4x中，整理得y²-4ky+4k=0
由已知得（4k）²-4×4k＞0且k＞0，解得k＞1．
由根與系數(shù)的關(guān)系可得MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（k（2k-1），2k）．
∴線段MN垂直平分線方程為y-2k=k[x-k（2k-1）]．
令y=0，得D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀=2k²-k+2．
∵k＞1，∴x₀＞3，∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法和求D點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．