Question

（2011•揭陽一模）已知定點A（-3，0），MN分別為x軸、y軸上的動點（M、N不重合），且AN⊥MN，點P在直線MN上，

NP

=

3

2

MP

．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設點Q是曲線x²+y²-8x+15=0上任一點，試探究在軌跡C上是否存在點T？使得點T到點Q的距離最小，若存在，求出該最小距離和點T的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出點M、N的坐標、點P的坐標，用坐標表示向量AN，MN，MN，NP，根據AN⊥MN、

NP

=

3

2

MP

，即可得到動點P的軌跡C的方程；
（2）曲線表示以B（4，0）為圓心，以1為半徑的圓，設T為軌跡C上任意一點，連接TB，則|TQ|+|QB|≥|TB|⇒|TQ|≥|TB|-1，故當|TB|最小時，|TQ|最小．

解答：解：（1）設點M、N的坐標分別為（a，0），（0，b），（a≠0，b≠0），點P的坐標為（x，y），
則

AN

=(3，b)，

NM

=(a，-b)，

MP

=(x-a，y)，

NP

=(x，y-b)，
由AN⊥MN得3a-b²=0，------------（※）----------（2分）
由

NP

=

3

2

MP

得x=

3

2

(x-a)，y-b=

3

2

y--------------------------------------（3分）
∴a=

1

3

x，b=-

1

2

y代入（※）得y²=4x----------------------------------------（5分）
∵a≠0，b≠0∴x≠0，y≠0
∴動點P的軌跡C的方程為y²=4x（x≠0）-------------------------------------（6分）
（2）曲線x²+y²-8x+15=0，即（x-4）²+y²=1，是以B（4，0）為圓心，以1為半徑的圓，
設 T為軌跡C上任意一點，連接TB，則|TQ|+|QB|≥|TB|⇒|TQ|≥|TB|-1--------------------------------（8分）
∴當|TB|最小時，|TQ|最小．---------------------------------------------------（9分）
∵點T在軌跡C上，設點T(

m2

4

，m)（m≠0）
∴|TB|=

( m2 4 -4)2+m2

=

1 16 (m2-8)2+12

---------------------------------（11分）
當m²=8，即m=±2

2

時，|TB|有最小值，|TB|min=2

3

-----------------------（12分）
當m²=8時，

m2

4

=2
∴在軌跡C上是存在點T，其坐標為(2，±2

2

)，使得|TQ|最小，|TQ|min=2

3

-1．--（14分）

點評：本題考查軌跡方程，考查探究性問題，解題的關鍵是利用曲線的特殊性，將點T到點Q的距離進行轉化．