Question

設A=[-1，1]，B=[-，]，函數f（x）=2x²+mx-1．
（1）設不等式f（x）≤0的解集為C，當C⊆（A∪B）時，求實數m取值范圍；
（2）若對任意x∈R，都有f（1+x）=f（1-x）成立，試求x∈B時，f（x）的值域；
（3）設g（x）=|x-a|-x²-mx（a∈R），求f（x）+g（x）的最小值．

Answer 1

解：（1）∵A=[-1，1]，B=[-，]，C⊆A∪B=A，二次函數f（x）=2x²+mx-1圖象開口向上，且△=m²+8＞0恒成立，
故圖象始終與x軸有兩個交點，由題意，要使這兩個交點橫坐標x₁，x₂∈[-1，1]，當且僅當：，…（4分），解得：-1≤m≤1 …（5分）
（2）對任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x），所以f（x）象關于直線x=1對稱，所以-=1，得m=-4．（7分）
所以f（x）=2（x-1）²-3為[-，]上減函數．f（x）_min=-2；f（x）_max=2．故x∈B時，f（x）值域為[-2，2]．…（9分）
（3）令φ（x）=f（x）+g（x），則φ（x）=x²+|x-a|-1，
（i）當x≤a時，φ（x）=x²-x+a-1=+a-，
當a≤，則函數φ（x）在（-∞，a]上單調遞減，從而函數φ（x）在（-∞，a]上的最小值為φ（a）=a²-1．
若a＞，則函數φ（x）在（-∞，a]上的最小值為φ（）=-+a，且φ（-）≤φ（a）．（12分）
（ii）當x≥a時，函數φ（x）=x²+x-a-1=-a-，
若a≤-，則函數φ（x）在（-∞，a]上的最小值為φ（-）=--a，且φ（-）≤φ（a），
若a＞-，則函數φ（x）在[a，+∞）上單調遞增，
從而函數φ（x）在[a，+∞）上的最小值為φ（a）=a²-1．…（15分）
綜上，當a≤-時，函數φ（x）的最小值為--a，當-＜a≤時，函數φ（x）的最小值為a²-1；當a＞時，函數φ（x）的最小值為-+a． …（16分）
分析：（1）依題意，C⊆A∪B=A=[-1，1]，二次函數f（x）=2x²+mx-1圖象開口向上，且△=m²+8＞0恒成立，圖象始終與x軸有兩個交點?，從而可求得實數m取值范圍；
（2）由于f（x）象關于直線x=1對稱，可得m=-4，由f（x）=2（x-1）²-3為[-，]上減函數可求得x∈B時，f（x）的值域；
（3）令φ（x）=f（x）+g（x），則φ（x）=x²+|x-a|-1，分x≤a與x≥a先去掉絕對值符號，再根據其對稱軸對a分類討論，利用函數的單調性即可求得答案．
點評：本題考查帶絕對值的函數，考查集合關系中的參數取值問題，突出考查二次函數的性質，考查綜合分析與運算能力，考查分類討論思想，化歸思想，方程思想的運用，屬于難題．