Question

已知函數，如果函數恰有兩個不同的極值點，，且.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求的最小值，并指出此時的值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）因為 函數恰有兩個不同的極值點，，即有兩個零點，，則
方程有兩個不同的零點，，構造函數，求導，                         
當時，，是減函數；當時，，是增函數，所以在時取得最小值．∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，所以 ，                     
于是，所以，，所以．所以 當時，，是減函數；當時，，是增函數，所以在上的最小值為，此時.
試題解析：（Ⅰ）∵ 函數恰有兩個不同的極值點，，即有兩個零點，
∴ 方程有兩個不同的零點，  
令．
，
當時，，是減函數；
當時，，是增函數，
∴在時取得最小值．
∴．
（Ⅱ）∵，即，
∴
于是，
∴
∵，
∴．
∴ 當時，，是減函數；
當時，，是增函數
∴在上的最小值為，此時.
考點：1.函數中證明問題；3.函數與不等式的綜合應用.