【題目】已知函數
，
（1）當
時，求
的單調區間；
（2）當
，討論的零點個數；
【答案】（1）
單調遞減區間為：
，
；單調遞增區間為：
，
；（2）當
時，在
上有2個零點，當
時，在上無零點.
【解析】
（1）先判斷為偶函數，再利用導數研究
上的單調性，根據偶函數的對稱性，得到答案.（2）先求出導函數，然后對
按照
，
，進行分類討論，當，得到
在單調遞增，結合
，判斷出此時無零點，當，得到單調性，結合
，
的值，以及偶函數的性質，得到零點個數.
解：∵
∴為偶函數，
只需先研究
當
，
，當
，
，
所以在單調遞增，在，單調遞減
所以根據偶函數圖像關于
軸對稱，
得在
單調遞增，在
單調遞減，
.故單調遞減區間為：，；單調遞增區間為：，
（2）
①時，
在恒成立
∴在單調遞增
又
，所以在
上無零點
②時，
，
使得
，即
.
又
在
單調遞減，
所以
，
，
，
所以，單調遞增，，單調遞減，
又，
（i）
，即
時
在
上無零點，
又為偶函數，所以在上無零點
（ii）
，即
在上有1個零點，
又為偶函數，所以在上有2個零點
綜上所述，當時，在上有2個零點，當時，在上無零點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】端午節（每年農歷五月初五），是中國傳統節日，有吃粽子的習俗.某超市在端午節這一天，每售出
kg粽子獲利潤
元，未售出的粽子每kg虧損
元.根據歷史資料，得到銷售情況與市場需求量的頻率分布表，如下表所示.該超市為今年的端午節預購進了
kg粽子.以
（單位：kg，
）表示今年的市場需求量，
（單位：元）表示今年的利潤.
市場需求量（kg） |
|
|
|
|
|
頻率 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.25 | 0.15 |
（1）將表示為的函數；
（2）在頻率分布表的市場需求量分組中，以各組的區間中間值代表該組的各個值，需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中間值的概率（例如：若需求量
，則取
，且的概率等于需求量落入
的頻率
），求的數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在邊長為
的菱形
中，
.點
，
分別在邊
，
上，點與點
，
不重合，
，
.沿
將
翻折到
的位置，使平面
平面
.
（1）求證：
平面
；
（2）當
與平面所成的角為
時，求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，已知
，
為拋物線
：
上兩點，
為拋物線焦點.分別過，作拋物線的切線交于點
.
（1）若
，求
；
（2）若
，
分別交
軸于
，
兩點，試問
的外接圓是否過定點？若是，求出該定點坐標，若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】己知
展開式中，各項系數和比它的二項式系數和大992，則下列結論正確的是（ ）
A.展開式中的有理項是第2項和第5項B.展開式中沒有常數項
C.展開式中二項式系數最大的項是第3項和第4項D.展開式中系數最大的項是第5項
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，短軸長為4.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）過點
作兩條直線，分別交橢圓于
，
兩點（異于
點）.當直線
，
的斜率之和為定值
時，直線
是否恒過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設拋物線的頂點為A，焦點為F.過F作直線l與拋物線交于點P、Q，直線AP、AQ分別與拋物線的準線交于點M、N.問：直線l滿足什么條件時，三直線PN、QM、AF恒交于一點？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題正確的是（ ）
A.已知隨機變量
，若
.則
B.已知分類變量
與
的隨機變量
的觀察值為
，則當的值越大時，“與有關”的可信度越小.
C.在線性回歸模型中，計算其相關指數
，則可以理解為：解析變量對預報變量的貢獻率約為
D.若對于變量
與
的
組統計數據的線性回歸模型中，相關指數
.又知殘差平方和為
.那么
.（注意：
）
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