Question

9．已知等差數列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₂，a₄+2成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式及其前n項和S_n；
（2）設${b_n}={2^{{{（{-1}）}^n}{a_n}}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差為d，由a₁=1，且a₁，a₂，a₄+2成等比數列．可得：${a}_{2}^{2}$=a₁•（a₄+2），即（1+d）²=1×（1+3d+2），解得d．經過驗證可得d，再利用等差數列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）${b_n}={2^{{{（{-1}）}^n}{a_n}}}$=${2}^{（-1）^{n}（2n-1）}$．當n為偶數時，$\frac{_{n+2}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{2n+3}}{{2}^{2n-1}}$=16．當n為奇數時，$\frac{_{n+2}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{-（2n+3）}}{{2}^{-（2n-1）}}$=$\frac{1}{16}$．可得數列{b_n}的奇數項是以$\frac{1}{2}$為首項，$\frac{1}{16}$為公比的等比數列；偶數項是以8為首項，16為公比的等比數列．利用求和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，∵a₁=1，且a₁，a₂，a₄+2成等比數列．
∴${a}_{2}^{2}$=a₁•（a₄+2），即（1+d）²=1×（1+3d+2），解得d=2或-1．
其中d=-1時，a₂=0，舍去．
∴d=2，可得a_n=1+2（n-1）=2n-1．
S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
（2）${b_n}={2^{{{（{-1}）}^n}{a_n}}}$=${2}^{（-1）^{n}（2n-1）}$．
∴當n為偶數時，$\frac{_{n+2}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{2n+3}}{{2}^{2n-1}}$=16．當n為奇數時，$\frac{_{n+2}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{-（2n+3）}}{{2}^{-（2n-1）}}$=$\frac{1}{16}$．
∴數列{b_n}的奇數項是以$\frac{1}{2}$為首項，$\frac{1}{16}$為公比的等比數列；偶數項是以8為首項，16為公比的等比數列．
∴數列{b_n}的前2n項和T_2n=（b₁+b₃+…+b_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=$\frac{\frac{1}{2}×[1-（\frac{1}{16}）^{n}]}{1-\frac{1}{16}}$+$\frac{8×（1{6}^{n}-1）}{16-1}$
=$\frac{8}{15}$（16ⁿ-16^-n）．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的定義通項公式與求和公式及其性質、分組求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．