Question

【題目】已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，則滿足f[f（a）+ ]= 的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8

Answer 1

【答案】C
【解析】解：設(shè)t=f（a）+ ，
則條件等價(jià)為f（t）= ，
若x≤0，則﹣x≥0，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，
∴當(dāng)﹣x≥0時(shí)，f（﹣x）=﹣（﹣x﹣1）2+1=﹣（x+1）2+1，
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（﹣x）=﹣（x+1）2+1=f（x），
即f（x）=﹣（x+1）2+1，x≤0，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
當(dāng)x≥0時(shí)，由﹣（x﹣1）2+1= ，得（x﹣1）2= ，則x=1+ 或x=1﹣ ，
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）= 的解為x3=﹣1﹣ ，x4=﹣1+ ；
綜上所述，f（t）= 得解為t1=1+ 或t2=1﹣ ，t3=﹣1﹣ ，t4=﹣1+ ；
由t=f（a）+ 得，
若t1=1+ ，則f（a）+ =1+ ，即f（a）= + ＞1，此時(shí)a無解，
若t2=1﹣ ，則f（a）+ =1﹣ ，即f（a）=﹣ ﹣ ∈（﹣∞，0），此時(shí)a有2個(gè)解，
若t3=﹣1﹣ ，則f（a）+ =﹣1﹣ ，即f（a）=﹣ ﹣ ∈（﹣∞，0），此時(shí)a有2個(gè)解，
若t4=﹣1+ ，則f（a）+ =﹣1+ ，即f（a）=﹣ + ∈（﹣∞，0），此時(shí)a有2個(gè)解，
故共有2+2+2=6個(gè)解．
故選：C．

利用換元法將函方程轉(zhuǎn)化為f（t）= ，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．