Question

已知函數f(x)＝－2x＋4，令S_n＝f()＋f()＋f()＋…＋f()＋f(1)．
(1)求S_n；
(2)設b_n＝(a∈R)且b_n<b_n＋1對所有正整數n恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）S_n＝3n－1    （2）(，＋∞)

(1)方法一　因為f(x)＋f(1－x)＝6，
S_n＝f()＋f()＋…＋f()＋f(1)，
∴2S_n＝＋＋…＋＋2f(1)＝6n－2．
即S_n＝3n－1．
方法二　S_n＝f()＋f()＋…＋f()＋f(1)
＝－2(＋＋…＋＋)＋4n＝3n－1．
(2)由<，得：aⁿ(－)<0(*)，
顯然a≠0．
①當a<0時，則－>0，
∴由(*)式得aⁿ<0．
但當n為偶數時，aⁿ>0，矛盾，所以a<0不合題意；
②當a>0時，因為aⁿ>0恒成立，
由aⁿ(－)<0，
得a>＝1＋，
當n＝1時，1＋取最大值，
故a>．
綜上所述，a的取值范圍為(，＋∞)．