Question

（本小題滿分12分）

直三棱柱A1B1C1—ABC的三視圖如圖所示，D、E分別為棱CC1和B1C1的中點。

（1）求點B到平面A1C1CA的距離；

   （2）求二面角B­—A1D—A的余弦值；

   （3）在AC上是否存在一點F，使EF⊥平面A1BD，若存在確定其位置，若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）由已知得：CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°

∴BC⊥AC  

∴BC⊥平面A1C1CA

∴點B到平面A1C1CA的距離為2……………………………………………………（3分）

（2）如圖建立空間直角坐標系

則B（0，2，0）D（0，0，1）A1（2，0，2）

設平面A1DB的法向量為

則

…………………………………………………………………………（6分）

而平面ACC1A1的法向量為

∴二面角B­—A1D—A的大小為……………………………………（8分）

（3）存在F為AC的中點，使EF⊥平面A1BD

設F（x，0，0），由E（0，1，2）得

若EF⊥平面A1BD，則

由得x=1

∴F為AC的中點

∴存在F為AC的中點，使EF⊥平面A1BD………………………………（12分）