【題目】已知函數
．
（1）若
，求
在
處的切線方程；
（2）若
在區間
上恰有兩個零點，求
的取值范圍．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】試題分析：（1）求出
，利用導數的幾何意義求切線斜率為
，根據點斜式可得切線方程；（2）利用導數求出函數的極大值和極小值，利用
在區間
上恰有兩個零點列不等式組，求解不等式組即可求
的取值范圍.
試題解析：（1）由已知得
,
若
時，有
， 
,
∴在
處的切線方程為： 
，化簡得
.
（2）由（1）知
，
因為
且
，令
，得
所以當
時，有
，則
是函數
的單調遞減區間；、
當
時，有
，則
是函數
的單調遞增區間． 9分
若
在區間
上恰有兩個零點，只需
，即
,
所以當
時， 
在區間
上恰有兩個零點.
【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線以及利用導數研究函數零點問題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出
在
處的導數，即
在點
出的切線斜率（當曲線
在
處的切線與
軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為
）；（2）由點斜式求得切線方程
.
黃岡經典趣味課堂系列答案
啟東小題作業本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校高三期中考試后，數學教師對本次全部數學成績按
進行分層抽樣，隨機抽取了20名學生的成績為樣本，成績用莖葉圖記錄如圖所示，但部分數據不小心丟失，同時得到如下表所示的頻率分布表：
（Ⅰ）求表中
，
，
的值，并估計這次考試全校高三數學成績的及格率（成績在
內為及格）；
（Ⅱ）設莖葉圖中成績在
范圍內的樣本的中位數為
，若從成績在范圍內的樣品中每次隨機抽取1個，每次取出不放回，連續取兩次，求取出兩個樣本中恰好一個是數字的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某單位生產A、B兩種產品，需要資金和場地，生產每噸A種產品和生產每噸B種產品所需資金和場地的數據如表所示：
資源 | 資金（萬元） | 場地（平方米） |
A | 2 | 100 |
B | 35 | 50 |
現有資金12萬元，場地400平方米，生產每噸A種產品可獲利潤3萬元；生產每噸B種產品可獲利潤2萬元，分別用x，y表示計劃生產A、B兩種產品的噸數．
（1）用x，y列出滿足生產條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域；
（2）問A、B兩種產品應各生產多少噸，才能產生最大的利潤？并求出此最大利潤．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}滿足a1=
,an+1=3an-1(n∈N*).
(1)若數列{bn}滿足bn=an-
,求證:{bn}是等比數列;
(2)求數列{an}的前n項和Sn.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在銳角△ABC中，a，b，c分別是三個內角A，B，C的對邊，若2asinB= 
b． （Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a= 
，△ABC的面積為 
，求△ABC的周長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}滿足（an+1﹣1）（an﹣1）=3（an﹣an+1），a1=2，令 
．
（Ⅰ）證明：數列{bn}是等差數列；
（Ⅱ）求數列{an}的通項公式．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知二次函數
對任意實數
，都有
恒成立.
（Ⅰ）證明： 
；
（Ⅱ）若
，求
的表達式；
（Ⅲ）在題（Ⅱ）的條件下設
，若
圖象上的點都位于直線
的上方，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c（a≤b≤c），且bcosC+ccosB=2asinA． （Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求證： 
；
（Ⅲ）若a=b，且BC邊上的中線AM長為 
，求△ABC的面積．
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