Question

【題目】已知函數（常數）.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若曲線與直線相切，證明： .

Answer 1

【答案】(1) 的單增區間為，單減區間為;(2)見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出， 得增區間， 得減區間；（Ⅱ）設曲線與直線的切點為，由，可得， ，其中，利用導數研究函數的單調性可得，即.

試題解析：（Ⅰ）函數的定義域為， .

令，則，故單增.

又，所以

當時， ，因而， 單增，即的單增區間為；

當時， ，因而， 單減，即的單減區間為.

（Ⅱ）證明：設曲線與直線的切點為，

因為，所以，即.

因為直線經過切點，所以，

于是，有，即.

令，則，故單增，

又， ，

所以有唯一零點，且.

再令，其中，

則，故單減，

所以，即.

【方法點晴】本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性、利用導數證明不等式和導數的幾何意義，屬于難題．利用導數研究函數的單調性進一步求函數最值的步驟：①確定函數的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區間；令，解不等式得的范圍就是遞減區間.