Question

一束光線通過點M（25，18）射到x軸上，入射點為A，經反射后射到圓C：x²+（y-7）²=25上．
（Ⅰ）求經過圓心的反射光線所在直線的方程；　
（Ⅱ）求點A在x軸上的活動范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）點M（25，18）射到x軸上，關于x軸的對稱點M′（25，-18）
所以反射光線過M′（25，-18），圓心（0，7）
所以直線為
即y=-x+7；
（Ⅱ）A的取值范圍是反射后射到圓C：x²+（y-7）²=25上，臨界狀態時的取值范圍．
因為x軸的對稱點M′（25，-18）
所以設直線y=k（x-25）-18，即kx-y-25k-18=0
利用圓心到直線的距離等于半徑可得：
∴12k²+25k+12=0
∴
所以對應的方程分別為：3x+4y-3=0，4x+3y-46=0
此時令A（x，0）
所以x分別為1，11.5
所以A的活動范圍[1，11.5]．
分析：（Ⅰ）求出點M（25，18）關于x軸的對稱點M′，利用反射光線過M′與圓心，即可求得直線方程；
（Ⅱ）A的取值范圍是反射后射到圓C：x²+（y-7）²=25上，臨界狀態時的取值范圍．利用圓心到直線的距離等于半徑，從而可求得臨界狀態時反射光線的方程，進而可求A的活動范圍．
點評：本題以圓的標準方程為載體，考查直線方程，考查對稱性，解題的關鍵是A的取值范圍是反射后射到圓C：x²+（y-7）²=25上，臨界狀態時的取值范圍