Question

一束光線通過點(diǎn)M(1-2

2

，-2

2

)射到x軸上，再反射到圓C：（x-1）²+（y+4）²=8上，求反射點(diǎn)在x軸上的橫坐標(biāo)的活動(dòng)范圍（　　）

• A．（0，1 ）
• B．（1-2

  2

  ，0）
• C．[1-2

  2

  ，1]
• D．（1，2

  2

  -1）

Answer 1

分析：當(dāng)反射光線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：kx-y-k+2

2

k+2

2

=0，當(dāng)反射光線與圓相切時(shí)為反射點(diǎn)的最大范圍，由點(diǎn)到直線的距離公式可得k的值，再檢驗(yàn)斜率不存在時(shí)直線也與圓相切，進(jìn)而得到答案．

解答：解：由題意可得：M點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M′（1-2

2

，2

2

），因?yàn)榉瓷涔饩�的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過M′（1-2

2

，2

2

），
當(dāng)反射光線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：y-2

2

=k（x-1+2

2

 ），
整理可得 kx-y-k+2

2

k+2

2

=0，
當(dāng)反射光線與圓相切時(shí)，圓心（1，-4）到反射光線的距離等于半徑，即d=2

2

=

|k+4-k+2 2 k+2 2 |

k2+1

，解得 k=-1．
此時(shí)反射光線的方程為x+y-1=0，所以反射點(diǎn)為（1，0）．
當(dāng)斜率不存在時(shí)，反射光線所在的直線的方程為 x=1-2

2

，經(jīng)檢驗(yàn)也與圓相切，此時(shí)，反射點(diǎn)的坐標(biāo)為（1-2

2

，0）．
綜上可得，反射點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是[1-2

2

，1]，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系，以及直線方程的一般式與兩點(diǎn)式，考查點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，此題綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．