Question

【題目】如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，點E、F分別在CD、AB上，且EF⊥CD，BE⊥BC，BC=1，CE=2．現將矩形ADEF沿EF折起，使平面ADEF與平面EFBC垂直（如圖2）．

（1）求證：CD∥面ABF；
（2）當AF的長為何值時，二面角A﹣BC﹣F的大小為30°．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CE∥BF，CE面ABF，BF面ABF，

∴CE∥面ABF，

又DE∥AF，DE面ABF，AF面ABF，

∴DE∥面ABF，

∵DE∩CE=E，且DE、CE面CDE，

∴面CDE∥面ABF，

又CD面CDE，∴CD∥面ABF．

（2）解：過F作CB的垂線，交CB的延長線于H點，連結AH，

∵面ADEF⊥面EFBC，AF⊥EF，

∴AF⊥面EFBC，CB面EFBC，

∴CB⊥AF，CB⊥面AF，

∴AH⊥CH，

∴∠AHF是二面角A﹣BC﹣F的平面角，

∴∠AHF=30°，

∵BC=1，CE=2，且BE⊥BC，∴∠BCE=60°，

在直線梯形EFBC中，BF=2﹣cos60°= ，

∴FH= = ，

在直角三角形AHF中，AF=FH ．

【解析】（1）推導出CE∥面ABF，DE∥面ABF，由此能證明面CDE∥面ABF，從而CD∥面ABF．（2）過F作CB的垂線，交CB的延長線于H點，連結AH，推導出∠AHF是二面角A﹣BC﹣F的平面角，由此能求出AF的長．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．