Question

【題目】已知點(diǎn),點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn),，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若直線與點(diǎn)的軌跡相切，且與圓相交于點(diǎn)和，求直線和三角形的面積．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知，由平面幾何知識(shí)可得，所以E的軌跡是以點(diǎn)A,C為焦點(diǎn)的橢圓，從而可得軌跡方程；（2）由，

得，根據(jù)判別式為零可得直線斜率，從而可得直線方程，再利用點(diǎn)到直線距離公式與三角形面積公式可得結(jié)果.

試題解析：（1）由題意可知

E的軌跡是以點(diǎn)A,C為焦點(diǎn)的橢圓

所以橢圓的方程 .

(2)由，

得

又 與點(diǎn)的軌跡相切

即， 又，所以， 的方程

圓心C到的距離由垂徑定理可知，

又原點(diǎn)O到直線的距離

.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查定義法求軌跡方程、點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式，屬于難題.求軌跡方程的常見(jiàn)方法有:①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.本題（1）就是利用方法②求得的軌跡方程的.