Question

【題目】設函數，其中．

（1）討論極值點的個數；

（2）設，函數，若，（）滿足且，證明：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先對函數求導，再對a分類討論求函數極值點的個數.(2)先對函數求導，假設結論不成立，則有，

由①得，由③得，所以④，令，不妨設，（），再利用導數證明，

所以④式不成立，與假設矛盾．所以原命題成立.

（1）函數的定義域為，．

令．

①當時，，，所以，函數在上單調遞增，無極值；

②當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

且，所以，在上有唯一零點，從而函數在上有唯一極值點；

③當時，若，即時，則在上恒成立，

從而在上恒成立，函數在上單調遞增，無極值；

若，即，由于，

則在上有兩個零點，從而函數在上有兩個極值點．

綜上所述：

當時，函數在上有唯一極值點；

當時，函數在上無極值點；

當時，函數在上有兩個極值點．

（2）， .

假設結論不成立，則有

由①，得，∴，

由③，得，∴，即，即．④

令，不妨設，（），則，

∴在上增函數，，

∴④式不成立，與假設矛盾．

∴．