Question

按要求證明下列各題．
（1）已知a₁+a₂+a₃+a₄＞100，用反證法證明a₁，a₂，a₃，a₄中，至少有一個(gè)數(shù)大于25；
（2）已知a，b是不相等的正數(shù)．用分析法證明a³+b³＞a²b+ab²．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)a₁，a₂，a₃，a₄均不大于25，則得a₁+a₂+a₃+a₄≤25+25+25+25=100，這與已知條件矛盾，故假設(shè)不對(duì)．
故要證的結(jié)論成立．
（2）要證明不等式成立，只需證明（a+b）（a²-ab+b²）-ab（a+b）＞0，即證（a+b）（a-b）²＞0，由a，b是不相等的正數(shù)，可得+b＞0，（a-b）²＞0成立，從而，原不等式成立．

解答：證明：（1）假設(shè)a₁，a₂，a₃，a₄均不大于25，…（2分）
那么，a₁+a₂+a₃+a₄≤25+25+25+25=100，這與已知條件矛盾．
所以，a₁，a₂，a₃，a₄中，至少有一個(gè)數(shù)大于25． …（6分）
（2）要證明a³+b³＞a²b+ab²，只需證明（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b），
只需證明（a+b）（a²-ab+b²）-ab（a+b）＞0，
只需證明（a+b）（a²-2ab+b²）＞0，
只需證明（a+b）（a-b）²＞0．…（11分）
∵a，b是不相等的正數(shù)，∴a+b＞0，（a-b）²＞0成立，…（13分）
這樣，就證明了命題的結(jié)論成立．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，用分析法證明不等式成立，屬于中檔題．