Question

過點T（2，0）的直線交拋物線y²=4x于A、B兩點.

   （I）若直線l交y軸于點M，且當m變化時，求的值；

   （II）設A、B在直線上的射影為D、E，連結AE、BD相交于一點N，則當m變化時，點N為定點的充要條件是n=－2.

Answer 1

（1）-1（2）同解析

解析:

（I）設

       由

      

       又

      

       同理，由

      

   （II）方法一：當m=0時，A（2，2），B（2，－），D（n，2），

       E（n，－2）.

       ∵ABED為矩形，∴直線AE、BD的交點N的坐標為（

       當

      

       同理，對、進行類似計算也得（*）式

       即n=－2時，N為定點（0，0）.

       反之，當N為定點，則由（*）式等于0，得n=－2.

       方法二：首先n=－2時，則D（－2，y₁），A（

         ①

         ②

       ①－②得

      

      

       反之，若N為定點N（0，0），設此時

       則

       由D、N、B三點共線，   ③

       同理E、N、A三點共線， ④

       ③+④得

       即－16m+8m－4mn=0，m(n+2)=0.

       故對任意的m都有n=－2.