Question

關于二項式（x-1）²⁰⁰⁸有下列命題：
①該二項展開式中含x項的系數是2008；
②該二項展開式中第六項為C₂₀₀₈⁶x²⁰⁰²；
③該二項展開式中系數最大的項為第1004項；
④當x=2008時，（x-1）²⁰⁰⁸除以2008的余數是1．
其中所有正確命題的序號是

④

．

Answer 1

分析：先求出二項式（x-1）²⁰⁰⁸展開式的通項公式，然后令r=2007求出二項展開式中含x項的系數可判定①的真假，求出二項展開式的第六項可判定②的真假，求出二項展開式中系數最大的項可判定③的真假，根據當x=2008時，（x-1）²⁰⁰⁸展開后前面項都能整除2008，只有最后一項1剩余，從而得到余數，可判定④的真假．

解答：解：二項式（x-1）²⁰⁰⁸展開式的通項公式為T_r+1=

C

r 2008

x2008-r(-1)r
令r=2007求出二項展開式中含x項的系數是-2008，即得①不正確；
二項展開式的第六項為-C₂₀₀₈⁵x²⁰⁰³，即得②不正確；
二項展開式中系數最大的項是第1005項C₂₀₀₈¹⁰⁰⁴•x¹⁰⁰⁴，即③不正確；
當x=2008時，（x-1）²⁰⁰⁸除以2 008的余數是最后一項1，即④正確．
故答案為：④．

點評：本題主要考查了二項式系數的性質，以及特定項以及系數最大項，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．