Question

關于二項式（x-1）²⁰⁰⁶，有下列三個命題：
①該二項式展開式中非常數項的系數和是-1； 
②該二項式展開式中第10項是

C

10 2006

x1996；
③當x=2006時，（x-1）²⁰⁰⁶除以2006的余數是2005．
其中正確命題的序號是

①、③

（把你認為正確的序號都填上）．

Answer 1

分析：①令x=1可得所有項的系數和為0，常數項

C

2006 2006

(-1)2006=1，可判斷①
②該二項式展開式中第10項T10=

C

9 2006

x1997(-1)9=-

C

9 2006

x1997
③當x=2006時，（x-1）²⁰⁰⁶=

C

0 2006

•20062006-

C

1 2006

•20062005+…

- C 2005 2006 •2006+C

2006 2006

，結合展開式可判斷

解答：解；在二項式（x-1）²⁰⁰⁶中，令x=1可得所有項的系數和為0
①該二項式展開式中常數項

C

2006 2006

(-1)2006=1，則可得非常數項的系數和是-1； 故①正確
②該二項式展開式中第10項T10=

C

9 2006

x1997(-1)9=-

C

9 2006

x1997，故②錯誤
③當x=2006時，（x-1）²⁰⁰⁶=

C

0 2006

•20062006-

C

1 2006

•20062005+…

- C 2005 2006 •2006+C

2006 2006

，則以2006的余數是2005．故③正確
故答案為：①③

點評：本題主要考查了利用賦值法求解二項展開式的系數之和及二項展開式的通項的簡單應用．