Question

（本小題共12分）
（普通高中做）
如圖, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，點D是AB的中點，
（I）求證：AC⊥BC₁；
（II）求證：AC ₁//平面CDB₁；
（III）求異面直線 AC₁與 B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

解：（I）直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內的射影為BC，∴ AC⊥BC₁………4分
（II）設CB₁與C₁B的交點為E，連結DE，∵ D是AB的中點，E是BC₁的中點，∴ DE//AC₁，
∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，∴ AC₁//平面CDB₁；………8分
（III）∵ DE//AC₁，∴∠CED為AC₁與B₁C所成的角，
在△CED中，ED=AC ₁=，CD=AB=，CE=CB₁=2，
∴，
∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值.………12分