Question

正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上，C、D兩點在拋物線y²=x上，則正方形ABCD的面積為

18或50

．

Answer 1

分析：如圖所示，設C(

y

2 1

，y1)，D(

y

2 2

，y2)．利用CD∥AB，可得k_CD=k_AB，再利用正方形ABCD可得|BC|=|CD|，即可解出，進而取得面積．

解答：解：如圖所示，設C(

y

2 1

，y1)，D(

y

2 2

，y2)．不妨設y₁＜y₂．
∵CD∥AB，∴k_CD=k_AB，∴

y2-y1

y 2 2 - y 2 1

=1，化為y₁+y₂=1．①
由正方形ABCD可得|BC|=|CD|，∴

| y 2 1 -y1+4|

2

=

( y 2 1 - y 2 2 )2+(y1-y2)2

，②
①②聯立化為(

y

2 1

+3y1+2)(

y

2 1

-5y1+6)=0，解得y₁=-1或-2或2或3．
取

y1=-1 y2=2

，

y1=-2 y2=3

．
當取

y1=-1 y2=2

時，|BC|=

|1+1+4|

2

=3

2

，∴正方形ABCD的面積S=(3

2

)2=18．
當取

y1=-2 y2=3

．|BC|=

|4+2+4|

2

=5

2

，∴正方形ABCD的面積S=50．
故答案為18或50．

點評：本題考查了正方形的性質、平行線之間的斜率關系、點到直線的距離公式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．