Question

已知函數f（x）=（x²-ax）e^x（a∈R）
（1）當a=2時，求函數f（x）的單調遞減區間．
（2）若函數f（x）在（-1，1）上單調遞減，求a的取值范圍．
（3）函數f（x）可否為R上的單調函數，若是，求出a的取值范圍，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當a=2時，由f（x）=（x²-2x）e^x，知f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x，令f′（x）＜0，能求出函數f（x）的單調遞減區間．
（2）f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax）e^x=[x²+（2-a）x-a]e^x，由f（x）在（-1，1）上單調遞減，知a≥

x2+2x

x+1

=x+1-

1

x+1

對一切x∈（-1，1）恒成立，令g(x)=x+1-

1

x+1

，g′(x)=1+

1

(x+1)2

＞0，
故g（x）在（-1，1）上是增函數，由此能求出a的取值范圍．
（3）f′（x）=[x²+（2-a）x-a]e^x，設t=x²+（2-a）x-a，由△=（2-a）²+4a=a²+4＞0，知x∈R時，t不恒為正值，也不恒為負值，故f（x）在R上不可能單調．

解答：解：（1）當a=2時，f（x）=（x²-2x）e^x，
∴f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x，令f′（x）＜0即（x²-2）e^x＜0，
∴x²-2＜0，∴-

2

＜x＜

2

，∴函數f（x）的單調遞減區間是（-

2

，

2

）．
（2）f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax）e^x=[x²+（2-a）x-a]e^x，
∵f（x）在（-1，1）上單調遞減，∴x∈（-1，1）時，f′（x）≤0恒成立，
即x∈（-1，1）時，x²+（2-a）x-a≤0恒成立．即a≥

x2+2x

x+1

=x+1-

1

x+1

對一切x∈（-1，1）恒成立，令g(x)=x+1-

1

x+1

，g′(x)=1+

1

(x+1)2

＞0，
∴g（x）在（-1，1）上是增函數．∴g（x）≤1+1-

1

1+1

=

3

2

，a≥

3

2

，
即a的取值范圍是[

3

2

，+∞）．
（3）∵f′（x）=[x²+（2-a）x-a]e^x，設t=x²+（2-a）x-a，
△=（2-a）²+4a=a²+4＞0，∴x∈R時，t不恒為正值，也不恒為負值．
即f′（x）的值不恒正，也不恒負，故f（x）在R上不可能單調．

點評：本題考查導數在函數單調性中的合理運用，解題時要認真審題，仔細解答，合理地運用導數的性質．