Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的圖像在處的切線方程與的單調區間；

（2）設是函數的導函數，試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1）函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）.

【解析】

（1）求，從而求得切線的斜率，即可求得切線方程，令及，分別求得函數的增、減區間。

（2）把與的大小問題轉化成：與的大小問題來解決，令，利用導數求出該函數的單調性，從而求出該函數的最大值，即可判斷兩個數的大小。

解：（1）∵，∴，

∴，，所以所求切線方程為，

即.

令，解得，，解得，

所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）∵，

∴與的大小關系等價于與的大小關系，

令，則，

∵在上單調遞減，且有，，

∴，使，即有，

即當時，，當時，，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，

即，

又由，可得，，

，

∵，∴，即，

∴，即.