Question

【題目】如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為、，，是軸的正半軸上一點，交橢圓于，且，的內切圓半徑為1.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線和圓相切，且與橢圓交于、兩點，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）利用內切圓的性質可知，，利用勾股定理構造方程可求得，結合橢圓定義和關系可求得，由此得到橢圓方程；

（2）利用與直線相切可求得，將直線方程代入橢圓方程，可利用弦長公式求得；利用直線與相切可求得，代入中即可得到結果.

（1）設的內切圓切、、于點、、，，，

由，且，有，則，，

由得：，解得：，

故，即，，

故所求的橢圓標準方程為：.

（2）由（1）知：，直線方程為，

設點，其到直線的距離為，有，

解得：或（舍），即，故圓的方程為，

設，，

由得：，

則，，

，

，

而與相切，有，解得：或，

故或.