Question

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°，點F是PB的中點，點E在矩形ABCD的邊BC上移動．
（Ⅰ）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF；
（Ⅱ）當CE等于何值時，二面角P-DE-A的大小為45°．

Answer 1

分析：（I）由題意可得此題是證明線面垂直的問題，即證明直線AF垂直于平面PBE，而當點E在BC上無論怎樣運動時直線PE都在此平面內，因此只需證明已知直線垂直于平面內的兩條相交直線即可．
（II）過A作AG⊥DG于G，連PG，根據二面角的定義可得∠PAG是二面角P-DE-A的平面角，因為∠PGA=45°且PD與平面ABCD所成角是30°，所以∠PDA=30°，進而可得一些有關相等的長度，設BE=x，則GE=x，CE=

3

-x，利用△DCE是直角三角形．

解答：解：（I）證明：∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴EB⊥PA，
又∵EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，
又∵AF?平面PAB，∴AF⊥BE，
又∵PA=AB=1，點F是PB的中點，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE?平面PBE，
∴AF⊥PE．
（II）過A作AG⊥DG于G，連PG，
∵DE⊥PA，∴DE⊥平面PAG，則∠PAG是二面角P-DE-A的平面角，
∴∠PGA=45°
∵PD與平面ABCD所成角是30°，
∴∠PDA=30°，
∴AD=

3

，PA=AB=1．
∴AG=1，DG=

2

，
設BE=x，則GE=x，CE=

3

-x，
在Rt△DCE中，（

2

+x）²=（

3

-x）²+1²，
得BE=x=

3

-

2

．
故CE=

2

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，得到有關線面垂直、線線垂直的結論，以及利用這些垂直關系解決二面角問題．