Question

如圖，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB=2，BC=

2

，PB=

6

（1）證明：面PAC⊥平面PBC
（2）求二面角P-BC-A的大小
（3）求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1）先由線面垂直：PA⊥平面ABC，證出線線垂直：PA⊥BC，再由線線垂直：AC⊥BC且PA∩AC=A，證明線面垂直：BC⊥平面PAC，最后由線面垂直：BC?平面PBC，證出面面垂直：面PAC⊥平面PBC
（2）先證明∠PCA就是二面角P-BC-A的平面角，由線面垂直證明線線垂直：BC⊥AC，BC⊥PC，所以∠PCA就是二面角P-BC-A的平面角，再在Rt△PAC中計算∠PCA即可
（3）一作：取PC的中點E，連接AE，二證：∵AE⊥平面PBC∴線段AE的長就是點A到平面PBC的距離，三計算：在Rt△PAC中，AE=

|PC|

2

=1

解答：解：（1）證明：依題意，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AC⊥BC且PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，∵BC?平面PBC
∴面PAC⊥平面PBC
（2）∵BC⊥平面PAC∴BC⊥AC，BC⊥PC∴∠PCA就是二面角P-BC-A的平面角
在Rt△PAC中，AC=

4-2

=

2

 PC=

6-2

=2
∴cos∠PCA=

2

2

∵∠PCA∈[0，π]∴∠PCA=

π

4

∴二面角P-BC-A的大小為

π

4

（3）依題意，PA=

2

取PC的中點E，連接AE，
∵PA=AC，∴AE⊥PC
∵面PAC⊥平面PBC
∴AE⊥平面PBC
∴線段AE的長就是點A到平面PBC的距離
在Rt△PAC中，AE=

|PC|

2

=1
∴A到平面PBC的距離為1

點評：本題考察了空間面面垂直的證明方法，二面角的求法及空間點到面的距離的求法，解題時要有較強的空間想象力，較強的運算能力