Question

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，左、右焦點分別為F₁、F₂，點P(2，)，點F₂在線段PF₁的中垂線上．
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)設直線l：y＝kx＋m與橢圓C交于M、N兩點，直線F₂M與F₂N的傾斜角分別為α，β，且α＋β＝π，試問直線l是否過定點？若過，求該定點的坐標．

Answer 1

(1)由橢圓C的離心率e＝，得＝，其中c＝，
橢圓C的左、右焦點分別為F₁(－c,0)、F₂(c,0)．
又點F₂在線段PF₁的中垂線上，
∴|F₁F₂|＝|PF₂|，∴(2c)²＝()²＋(2－c)²，
解得c＝1，∴a²＝2，b²＝1，∴橢圓的方程為＋y²＝1.
(2)由題意直線MN的方程為y＝kx＋m，
由消去y得(2k²＋1)x²＋4kmx＋2m²－2＝0.
設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，
則x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，且kF₂M＝，kF₂N＝，
由已知α＋β＝π得
即＋＝0.
化簡，得2kx₁x₂＋(m－k)(x₁＋x₂)－2m＝0，
∴2k·－－2m＝0，整理得m＝－2k.
∴直線MN的方程為y＝k(x－2)，
因此直線MN過定點，該定點的坐標為(2,0)．

略