Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（2x2﹣3x）ex
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若方程（2x﹣3）ex= 有且僅有一個實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題可得：f′（x）=（2x2+x﹣3）ex

令f′（x）＜0，得：2x2+x﹣3＜0，解得：

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是 ．

（2）解：∵方程 有且僅有一個實根

∴方程（2x2﹣3x）ex=a有且僅有一個非零實根，即方程f（x）=a，（x≠0）有且僅有一個實根．

因此，函數(shù)y=f（x），（x≠0）的圖象與直線y=a有且僅有一個交點．

結(jié)合（1）可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間是

∴函數(shù)f（x）的極大值是 ，極小值是f（1）=﹣e．

又∵ 且x＜0時，f（x）＞0．∴當(dāng) 或a=0或a=﹣e時，

函數(shù)y=f（x），（x≠0）的圖象與直線y=a有且僅有一個交點．

∴若方程 有且僅有一個實根，

實數(shù)a的取值范圍是

【解析】（1）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)小于0，求解單調(diào)遞減區(qū)間；（2）分離變量，通過函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，判斷零點個數(shù)，利用單調(diào)性求解函數(shù)的極值，推出結(jié)果即可．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．