Question

（選修4-1）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以BC為直徑的圓O交AC于點D，設E為AB的中點． 
（I）求證：直線DE為圓O的切線；
（Ⅱ）設CE交圓O于點F，求證：CD•CA=CF•CE
（選修4-4）在平面直角坐標系xoy中，圓C的參數方程為

x=4cosθ y=4sinθ

（θ為參數），直線l經過點p（2，2），傾斜角a=

π

3

．
（I）寫出圓C的標準方程和直線l的參數方程；
（Ⅱ）設直線l與圓C相交于A，B兩點，求|PA|-|PB|的值．
（選修4-5）已知函數f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a
（Ⅰ）當a=0時，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（選修4-1）（Ⅰ）利用條件、等腰三角形的性質求得∠EDO=∠EDB+∠ODB=∠EBD+∠OBD=90°，可得直線DE為圓O的切線．
（Ⅱ）連接DF，則有∠DFC=∠DBC，證明 D、A、E、F四點共圓，可得 CD•CA=CF•CE．
（選修4-4）（Ⅰ）把圓的參數方程利用同角三角函數的基本關系消去參數，化為標準方程．把直線l的參數方程消去參數，化為直角坐標方程．
（Ⅱ）把直線的方程代入圓的方程，利用根與系數的關系以及參數的幾何意義求得|PA|•|PB|的值．
（選修4-5）（Ⅰ）當 a=0 時，由f（x）≥g（x） 得|2x+1|≥x，兩邊平方整理得 3x²+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得x的范圍，即為所求．
（Ⅱ）由 f（x）≤g（x） 得 a≥|2x+1|-|x|，令h（x）=|2x+1|-|x|，求得 h（x）的最小值，即可求得實數a的取值范圍．

解答：（選修4-1）（Ⅰ）證明：連接BD、OD，在Rt△ABD中，DE=

AB

2

=BE，則在等腰三角形EBD中，∠EBD=∠EDB．
在等腰三角形OBD中，∠OBD=∠ODB，可得∠EDO=∠EDB+∠ODB=∠EBD+∠OBD=90°，
即直線DE為圓O的切線．


（Ⅱ）連接DF，則有∠DFC=∠DBC，
又因為∠A=∠DBC，可得∠A=∠DFC，則有 D、A、E、F四點共圓．
因此得到CD•CA=CF•CE．
（選修4-4）解：（Ⅰ）圓的標準方程為 x²+y²=16，
直線l的參數方程為

x=2+tcos π 3 y=2+tsin π 3

，即

x=2+ 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t為參數）．
（Ⅱ）把直線的方程

x=2+ 1 2 t y=2+ 3 2 t

 代入 x²+y²=16，
得 (2+

t

2

)2+(2+

3 t

2

)2=16，t²+2（

3

+1）t-8=0．
所以 t₁•t₂=-8，即|PA|•|PB|=8．
（選修4-5）解：（Ⅰ）當 a=0 時，由f（x）≥g（x） 得|2x+1|≥x，
兩邊平方整理得 3x²+4x+1≥0，
解之得x≤-1，或 x≥-

1

3

，∴原不等式的解集為（-∞，-1]∪[-

1

3

，+∞）．
（Ⅱ）由 f（x）≤g（x） 得 a≥|2x+1|-|x|，
令h（x）=|2x+1|-|x|，則 h（x）=

-x-1  ， x ≤- 1 2 3x+1  ， - 1 2 ＜x＜0 x+1  ， x ≥0

，∴h（x） 的最小值為h（-

1

2

）=-

1

2

，
從而所求實數 a的范圍為[-

1

2

，+∞）．

點評：本題主要考查圓的參數方程、圓的切線方程、與圓有關的比例線段，絕對值不等式的解法，屬于中檔題．