Question

選修4-1：
如圖，點A是以線段BC為直徑的圓O上一點，AD⊥BC于點D，過點B作圓O的切線，與CA的延長線相交于點E，點G是AD的中點，連接CG并延長與BE相交于點F，延長AF與CB的延長線相交于點P．
（1）求證：BF=EF；
（2）求證：PA是圓O的切線．

Answer 1

分析：（1）利用平行線截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到對應線段成比例，再結合已知條件可得BF=EF；
（2）利用直角三角形斜邊上的中線的性質和等邊對等角，得到∠FAO=∠EBO，結合BE是圓的切線，得到PA⊥OA，從而得到PA是圓O的切線．

解答：證明：（1）∵BC是圓O的直徑，BE是圓O的切線，∴EB⊥BC．
又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．
可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．
∴

BF

DG

=

CF

CG

，

EF

AG

=

CF

CG

，得

BF

DG

=

EF

AG

．
∵G是AD的中點，即DG=AG．
∴BF=EF．
（2）連接AO，AB．
∵BC是圓O的直徑，∴∠BAC=90°．
由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜邊BE的中點，
∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．
又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．
∵BE是圓O的切線，
∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，
∴PA⊥OA，由圓的切線判定定理，得PA是圓O的切線．

點評：本題求證直線是圓的切線，著重考查了直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質和圓的切線判定定理等知識，屬于中檔題．