Question

設點P（x，y）（y≥0）為平面直角坐標系xOy中的一個動點（其中O為坐標原點），點P到定點M（0，

1

2

）的距離比點P到x軸的距離大

1

2

．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）若直線l：y=x+1與點P的軌跡相交于A、B兩點，求線段AB的長；
（3）設點P的軌跡是曲線C，點Q（1，y₀）是曲線C上一點，求過點Q的曲線C的切線方程．

Answer 1

分析：（1）用直接法或定義法求得點P軌跡方程．
（2）聯立y=x+1與x²=2y化簡得x²-2x-2=0，把根與系數的關系代入弦長公式求出結果．
（3）曲線C即函數y=

x2

2

的圖象，利用導數求得切線的斜率，點斜式求得切線的方程．

解答：解：（1）用直接法或定義法求得點P軌跡方程為x²=2y．
（2）聯立y=x+1與x²=2y化簡得x²-2x-2=0．  設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，x₁x₂=-2，
|AB|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=2

6

．
（3）曲線C即函數y=

x2

2

的圖象，y′=x，y′|_x=1=1，又Q（1，

1

2

），
故所求切線方程為y-

1

2

=1•（x-1）即x-y-

1

2

=0．

點評：本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，求出切線的斜率是解題的關鍵．