Question

設點P（x，y）（y≥0）為平面直角坐標系xOy中的一個動點（O為坐標原點），點P到定點M(0，

1

2

)的距離比點P到x軸的距離大

1

2

．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）若直線l：y=kx+1與點P的軌跡相交于A、B兩點，且|AB|=2

6

，求k的值；
（3）設點P的軌跡曲線為C，點Q（x₀，y₀）（x₀≤1）是曲線C上的一點，求以點Q為切點的曲線C的切線方程及切線傾斜角的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過P作x軸垂線且垂足為N，由題意可知|PM|-|PN|=

1

2

．由y≥0，知

x2+(y- 1 2 )2

=y+

1

2

，由此能求出點P的軌跡方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立

y=kx+1 x2=2y

得x²-2kx-2=0，所以x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2，再由|AB|=2

6

，結合弦長公式能求出k的值．
（3）因為Q（x₀，y₀）在曲線C上，所以切點Q(x0，

1

2

x

2 0

)，又y=

1

2

x2求導得y'=x，所以切線斜率k=x₀，切線方程為2x₀x-2y-x₀²=0，由此能求出傾斜角取值范圍．

解答：解：（1）過P作x軸垂線且垂足為N，由題意可知|PM|-|PN|=

1

2

而y≥0，∴|PN|=y，∴

x2+(y- 1 2 )2

=y+

1

2

化簡得x²=2y（y≥0）為所求的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

y=kx+1 x2=2y

，
得x²-2kx-2=0，
∴x₁+x₂=2k，
x₁x₂=-2|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

4k2+8

=2

6

，
∴k⁴+3k²-4=0，
而k²≥0，
∴k²=1，
∴k=±1．
（3）因為Q（x₀，y₀）在曲線C上，
∴x₀²=2y₀，
∴切點Q(x0，

1

2

x

2 0

)．
又y=

1

2

x2求導得y'=x，
∴切線斜率k=x₀
則切線方程為y-

1

2

x

2 0

=x0(x-x0)，
即2x₀x-2y-x₀²=0為所求切線方程，
又x₀≤1，
∴切線斜率k≤1，
∴傾斜角取值范圍為[0，

π

4

]∪(

π

2

，π)．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．