Question

【題目】已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n的展開式中x的系數(shù)恰好是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn ．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{bn}滿足 ，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 求證：Tn＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n的展開式中x的系數(shù)為 = ，

即 ，

所以當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=n．

當(dāng)n=1時(shí)，a1=1也適合上式．

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n

（2）證明： ，

所以 ，

所以Tn＜1

【解析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式定理可得 ，繼而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)“裂項(xiàng)求和“即可證明．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)，掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．