Question

【題目】已知函數在點處的切線方程為， （其中為常數）.

（1）求函數的解析式；

（2）若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當時，求證： （其中e為自然對數的底數）.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3)詳見解析.

【解析】試題分析:（1）對函數求導根據點斜式求出切線方程;（2）構造新函數，則有在上恒成立；對函數求導分類討論函數的單調性,求出參數范圍; （3）令，求導可得取得最小值；構造， 取得最小值；當時， ，得證.

試題解析:（）， ，得；又由，得，

所以．

（2）對任意，不等式恒成立；

等價于對任意，不等式恒成立；

令，則有在上恒成立；

；

若，當時， ，所以在上單調遞增，

所以，當時， ；

若，當時， ，當時， ，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以當時， ，與題意矛盾；

綜上，實數的取值范圍為．

（3）令，

；令，解得；

令，解得；∴在上單調遞減；在上單調遞增；

故當時， 取得最小值；

，

，令，解得；令，解得；

所以在上單調遞減；在上單調遞增；

故當時， 取得最小值；

所以，當時， ，

即，

當且僅當時，等號成立．