Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形為等腰梯形，，，，與相交于，且，矩形底面，為線段上一動點，滿足.

（Ⅰ）若平面，求實數的值；

（Ⅱ）當時，銳二面角的余弦值為，求多面體的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）12.

【解析】試題分析: （Ⅰ）由題意先得，可得，由線面平行性質定理可得四邊形為平行四邊形，即，故可得的值；（Ⅱ）運用面面垂直性質定理可得面，故而可得面,以， ， 所在直線為， ， 軸建立空間直角坐標系，由三角形全等得的長度，設求出平面的法向量和平面的法向量，根據二面角的余弦值可得的值，將多面體分割為兩個四棱錐，求其體積即可.

試題解析：（Ⅰ）連接，在梯形中，，

∴，∴.

∵平面，平面平面，∴.

又，∴四邊形為平行四邊形，∴.

∴，∴.

（Ⅱ）∵梯形底面，平面平面，

∴底面.∵，∴底面.

以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，

設，易證，所以，

所以，同理，

所以，，，

，.

，.

設平面的法向量為，

平面的法向量為.

則，令，

得.

，令得.

所以，解得：.

所以多面體的體積為，

.