Question

己知函數f（x）=|log₃（x-1）|-(

1

3

)x有兩個零點x₁，x₂，則（　　）

A．x₁x₂＜1

B．x₁x₂＞x₁+x₂

C．x₁x₂=x₁+x₂

D．x₁x₂＜x₁+x₂

Answer 1

分析：先將f（x）=|log₃（x-1）|-（

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）^x有兩個零點轉化為y=|log₃（x-1）|與y=3^-x有兩個交點，然后在同一坐標系中，
畫出兩函數的圖象得到零點在（1，2）和（2，+∞）內，即可得到-3^-x₁ =log₃x₁和3^-x₂ =log₃x₂，然后兩式相加，
即可求得x₁x₂的范圍．

解答：解：f（x）=|log₃（x-1）|-（

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）^x有兩個零點x₁，x₂，
即y=|log₃（x-1）|與y=3^-x有兩個交點．
由題意x＞0，分別畫y=3^-x和y=|log₃（x-1）|的圖象，
發現在（1，2）和（2，+∞）有兩個交點．
不妨設 x₁在（1，2）里 x₂在（2，+∞）里，
那么 在（1，2）上有 3^-x₁=-log₃（x₁-1），
即-3^-x₁=log₃（x₁-1）…①
在（2，+∞）上有3^-x₂ =log₃（x₂-1）．…②
①②相加有 3^-x₂-3^-x₁=log₃（x₁-1）（x₂-1），
∵x₂＞x₁，∴3^-x₂＜3^-x₁，即 3^-x₂-3^-x₁＜0，
∴log₃（x₁-1）（x₂-1）＜0，
∴0＜（x₁-1）（x₂-1）＜1，∴x₁x₂＜x₁+x₂，
故選D．

點評：本題主要考查確定函數零點所在區間的方法--轉化為兩個函數的交點問題．函數的零點等價于函數與x軸的交點的橫坐標，等價于對應方程的根，屬于中檔題．