Question

己知函數f（x）=x²e^-x
（Ⅰ）求f（x）的極小值和極大值；
（Ⅱ）當曲線y=f（x）的切線l的斜率為負數時，求l在x軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導數的運算法則即可得出f^′（x），利用導數與函數單調性的關系及函數的極值點的定義，即可求出函數的極值；
（Ⅱ）利用導數的幾何意義即可得到切線的斜率，得出切線的方程，利用方程求出與x軸交點的橫坐標，再利用導數研究函數的單調性、極值、最值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²e^-x，∴f′（x）=2xe^-x-x²e^-x=e^-x（2x-x²），
令f′（x）=0，解得x=0或x=2，
令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，
故函數在區間（-∞，0）與（2，+∞）上是減函數，在區間（0，2）上是增函數．
∴x=0是極小值點，x=2極大值點，又f（0）=0，f（2）=

4

e2

．
故f（x）的極小值和極大值分別為0，

4

e2

．
（II）設切點為（x0，x02e-x0），
則切線方程為y-x02e-x0=e-x0(2x0-x02)（x-x₀），
令y=0，解得x=

x02-x0

x0-2

=(x0-2)+

2

x0-2

+3，
因為曲線y=f（x）的切線l的斜率為負數，∴e-x0（2x0-

x

2 0

)＜0，∴x₀＜0或x₀＞2，
令f(x0)=x0+

2

x0-2

+1，
則f′(x0)=1-

2

(x0-2)2

=

(x0-2)2-2

(x0-2)2

．
①當x₀＜0時，(x0-2)2-2＞0，即f^′（x₀）＞0，∴f（x₀）在（-∞，0）上單調遞增，∴f（x₀）＜f（0）=0；
②當x₀＞2時，令f^′（x₀）=0，解得x0=2+

2

．
當x0＞2+

2

時，f^′（x₀）＞0，函數f（x₀）單調遞增；當2＜x0＜2+

2

時，f^′（x₀）＜0，函數f（x₀）單調遞減．
故當x0=2+

2

時，函數f（x₀）取得極小值，也即最小值，且f(2+

2

)=3+2

2

．
綜上可知：切線l在x軸上截距的取值范圍是（-∞，0）∪[2

2

+3，+∞)．

點評：本題考查利用導數求函數的極值與利用導數研究函數的單調性、切線、函數的值域，綜合性強，考查了推理能力和計算能力．