Question

給出的下列命題：
（1）cos47°cos13°-cos43°sin13°值為

3

2

；
（2）

a

•

b

=

b

•

c

，則

b

=

0

或

a

=

c

；
（3）函數(shù)f（x）=sin（sinx+cosx）的最大值為

2 +1

2

；
（4）函數(shù)y=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）是奇函數(shù)，則φ=2kπ+

π

2

(k∈z)．
其中正確的命個(gè)數(shù)為（　　）

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、3個(gè)

Answer 1

分析：（1）把原式利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用特殊角的三角函數(shù)值求出值，作出判斷即可；
（2）把原式變形后，根據(jù)平面向量的數(shù)量積為0，得到兩向量垂直，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
（3）先利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值求出sinx+cosx的值域，即為sin（sinx+cosx）的定義域，即可求出f（x）的最大值，作出判斷；
（4）根據(jù)奇函數(shù)的意義f（-x）=-f（x），即可求出φ的度數(shù)，作出判斷．

解答：解：（1）cos47°cos13°-cos43°sin13°
=sin43°cos13°-cos43°sin13°
=sin（43°-13°）
=sin30°=

1

2

，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
（2）∵

a

•

b

=

b

•

c

，即

b

•（

a

-

c

）=0，
∴

b

⊥（

a

-

c

），本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
（3）∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∴sinx+cosx∈（-

2

，

2

），
函數(shù)f（x）=sin（sinx+cosx）的值域?yàn)閇-sin

2

，sin

2

]，
∴f（x）的最大值為sin

2

，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
（4）∵函數(shù)y=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）是奇函數(shù)，
∴Acos（-ωx+φ）=-Acos（ωx+φ）=Acos[π-（ωx+φ）]，
∴（-ωx+φ）=π-（ωx+φ）+2kπ（k∈Z），
解得：φ=kπ+

π

2

（k∈Z），本選項(xiàng)錯(cuò)誤，
則四個(gè)選項(xiàng)中正確命題的個(gè)數(shù)為0個(gè)．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)最值以及函數(shù)奇偶性．要求學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．