Question

【題目】已知圓：，為坐標原點，動點、在圓外，過點、分別作圓的切線，切點分別為、.

（1）若點在點位置時，求此時切線的方程；

（2）若點、滿足，，問直線：上是否存在點，使得？如果存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）或.（2）不存在.見解析

【解析】

（1）根據過點的直線是否存在斜率進行分類討論，結合點到直線距離公式，結合圓的切線性質進行求解即可；

（2）設，計算出、的表達式，結合，求出點軌跡方程，也就求出點、的軌跡方程，求出直線：上點，到距離最小時點的坐標，設該點的為，根據當、分別是圓的兩條切線時，是所有中最大的角進行求解即可.

（1）把圓的方程化為標準方程為，

所以圓心為，半徑.

當的斜率不存在時，

此時的方程為，到的距離，滿足條件.

當的斜率存在時，設斜率為，

得的方程為，即.

則，解得.

所以的方程為，即.

綜上，滿足條件的切線的方程為或.

（2）點不存在，理由如下：

設，

則，，

因為，

所以.

整理，得.

即點、是以圓心為，半徑的圓上兩動點，

因為直線：上點是直線上所有點中到圓心距離最小的點，

當、分別是圓的兩條切線時，

是所有中最大的角，

因為，

所以，

此時，，故不存在.