已知函數
，設曲線
在與
軸交點處的切線為
，
為
的導函數，滿足
．
（1）求；
（2）設
，
，求函數
在
上的最大值；
（3）設
，若對于一切
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
（1）
；（2）
；（3）
．
解析試題分析：（1）三次函數的導數是二次函數，由，知其對稱軸，曲線的切線問題，可利用導數的幾何意義(切點處切線的斜率)列出方程組求解；（2）
，畫出函數圖象考察其單調性，根據其單調區間對
的值分類討論求出其最大值；（3）對不等式進行化簡，得
恒成立，即
，且
，對任意的成立，然后又轉化為求函數的最值問題，要注意，從而有
.
試題解析：（1）
，∵，
∴函數的圖象關于直線
對稱，
， 2分
∵曲線在與軸交點處的切線為，∴切點為
，
∴
，解得
，則 5分
（2）∵
，
∴
，其圖象如圖 7分
當
時，
，
當
時，
，
當
時，
，
綜上
10分
（3）
，
，
當時，
，所以不等式等價于恒成立，
解得，且， 13分
由，得
，
，所以
，
又，∵
，∴所求的實數的的取值范圍是 16分
考點：函數與導數、曲線的切線、不等式恒成立問題.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝
－
alnx，a∈R．
（Ⅰ）當f(x)存在最小值時，求其最小值φ(a)的解析式；
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的φ(a)，
（ⅰ）當a∈(0，＋∞)時，證明：φ(a)≤1；
（ⅱ）當a＞0，b＞0時，證明：φ′(
)≤
≤φ′(
)．
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上是增函數，求實數
的取值范圍.
的一個極值點，求
上的最大值.
的值域；
，函數
．若對任意
，總存在
，使
，求實數
的取值范圍．
－a
＋x（a＞0）．
＝
，求f（x）圖像在x＝1處的切線的方程；
的極大值和極小值分別為m，n，證明：
．
，若
在點
處的切線斜率為
．
表示
；
，若
對定義域內的
恒成立，
，證明：
．
（
且
）
的單調性；
，證明：
時，
成立
.
時，討論函數
在[
上的單調性；
，
是函數
的兩個零點，
為函數
.
.
的單調區間；
在
內恒成立，求實數
的取值范圍.
，求證：
．