Question

已知函數(shù)f(x)=4x3-3x2sinθ+

1

32

的極小值大于零，其中x∈R，θ∈[0，π]．
（I）求θ的取值范圍；
（II）若在θ的取值范圍內(nèi)的任意θ，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2a-1，a）內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（III）設(shè)x0＞

sinθ

2

，f(x0)＞

sinθ

2

，若f[f（x₀）]=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析：（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，f′（x）=12x²-6xsinθ，令f′(x)=0可得x1=0，x2=

sinθ

2

，且由題意可知x₁≠x₂，依據(jù)題中的條件找出函數(shù)的極小值點(diǎn)為x2=

sinθ

2

，函數(shù)的極小值大于零?f(

sinθ

2

)＞0
（II）由（I）知，函數(shù)f（x）增區(qū)間（-∞，0）與(

sinθ

2

，+∞)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2a-1，a）內(nèi)都是增函數(shù)?區(qū)間
（2a-1，a）⊆（-∞，0）或（2a-1，a）⊆（

sinθ

2

，+∞），從而求a的取值范圍
（III）假設(shè)f（x₀）≠x₀則f（x₀）＜x₀或f（x₀）＞x₀，結(jié)合（II）函數(shù)在(

sinθ

2

，+∞)的單調(diào)性進(jìn)行推理，得出矛盾

解答：解：（I）f'（x）=12x²-6xsinθ令f'（x）=0得x1=0，x2=

sinθ

2

函數(shù)f（x）存在極值，sinθ≠0，（1分）
由θ∈[0，π]及（I），只需考慮sinθ＞0的情況．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）的符號(hào)及f（x）的變化情況如下表：
因此，函數(shù)f（x）在x=

sinθ

2

處取得極小值f(

sinθ

2

)，且f(

sinθ

2

)=-

1

4

sin3θ+

1

32

（3分）
要使f(

sinθ

2

)＞0，必有-

1

4

sin3θ+

1

32

＞0可得0＜sinθ＜

1

2

所以θ的取值范圍是θ∈(0，

π

6

)∪(

5π

6

，π)（5分）
（II）由（I）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）與(

sinθ

2

，+∞)內(nèi)都是增函數(shù)．
由題設(shè)，函數(shù)f（x）在（2a-1，a）內(nèi)是增函數(shù)，則a須滿(mǎn)足不等式組

2a-1＜a a≤0

，或

2a-1＜a 2a-1≥ 1 2 sinθ

，
∵0＜sinθ＜

1

2

∴要使不等式2a-1≥

1

2

sinθ關(guān)于參數(shù)θ恒成立，必有2a-1≥

1

4

．
解得a≤0或

5

8

≤a＜1，所以a的取值范圍是(-∞，0]∪[

5

8

，1]．（8分）
（III）用反證法證明：
假設(shè)f（x₀）≠x₀，則f（x₀）＜x₀，或f（x₀）＞x₀，
∵x0＞

sinθ

2

，f(x0)＞

sinθ

2

，
∴

sinθ

2

＜f(x0)＜x0，或f(x0)＞x0＞

sinθ

2

當(dāng)

sinθ

2

＜f(x0)＜x0時(shí)，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間(

sinθ

2

，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，
∴f[f（x₀）]＜f（x₀），即x₀＜f（x₀）矛盾；
當(dāng)f(x0)＞x0＞

sinθ

2

時(shí)，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間(

sinθ

2

，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，
∴f[f（x₀）]＞f（x₀），即x₀＞f（x₀）也矛盾；
故假設(shè)不成立，即f（x₀）=x₀成立．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求解函數(shù)的極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，以及結(jié)合單調(diào)性及反證法綜合考查函數(shù)的綜合知識(shí)．