Question

下列關于平面向量的命題中是真命題的是

④⑤

（寫出所有你認為是真命題的序號）．
①若

a

2=

b2

，則

a

=

b

或

a

=-

b

；
②使

a

| a |

=

b

| b |

成立的充分條件是

a

∥

b

；
③若

a

，

b

都是非零向量，則“|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|”是“?λ∈R，使得

a

=λ

b

”的充分不必要條件；
④若

a

，

b

均為單位向量，其夾角為θ，則“|

a

-

b

|＞1”是“θ∈(

π

3

，π)”的充要條件；
⑤向量

a

，

b

(

a

≠

0

，

a

≠

b

)滿足|

b

|=1，且

a

與

b

-

a

的夾角為150°，則|

a

|的取值范圍是（0，2]．

Answer 1

分析：①若

a

2=

b2

，則|

a

|=|

b

|；②使

a

| a |

=

b

| b |

成立的充分條件是

a

a

與

b

同向；③“|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|”是“?λ∈R，使得

a

=λ

b

”的不充分不必要條件；④|

a

-

b

|＞1?

π

3

＜θ＜π；⑤由題設條件作出單位圓，數形結合能夠作出正確判斷．

解答：解：①若

a

2=

b2

，則|

a

|=|

b

|，故①錯誤；
②使

a

| a |

=

b

| b |

成立的充分條件是

a

∥

b

，且

a

與

b

同向，故②錯誤；
③若

a

，

b

都是非零向量，
“|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|”⇒“

a

⊥

b

”，
∴“|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|”是“?λ∈R，使得

a

=λ

b

”的不充分不必要條件，故③錯誤；
④充分性：∵

a

，

b

均為單位向量，其夾角為θ，∴0≤θ≤π，
∵|

a

-

b

|＞1，
∴

a

2+

b

2-2|

a

||

b

|cosθ=2-2cosθ＞1，
解得cosθ＜

1

2

，∴

π

3

＜θ＜π．
必要性：∵

π

3

＜θ＜π，∴cosθ＜

1

2

，
∴

a

2+

b

2-2|

a

||

b

|cosθ=2-2cosθ＞1，
∴|

a

-

b

|＞1，
故“|

a

-

b

|＞1”是“θ∈(

π

3

，π)”的充要條件，故④正確；
⑤∵

a

，

b

(

a

≠

0

，

a

≠

b

)滿足|

b

|=1，且

a

與

b

-

a

的夾角為150°，
∴作出如圖的單位圓，取

OB

=

b

，

OA

=

a

，必須滿足∠OAB=30°，
當AB與圓O相切時，|

a

|_max=|OA|=2|OB|=2，
∴|

a

|的取值范圍是（0，2]，故⑤正確．

故答案為：④⑤．

點評：本題考查命題的真假判斷及應用，解題時要認真審題，注意平面向量知識的合理運用．