Question

設(shè)數(shù)列：，即當(dāng)時，記.記. 對于，定義集合是的整數(shù)倍，，且.
（1）求集合中元素的個數(shù)；
（2）求集合中元素的個數(shù).

Answer 1

（1）2     （2）1008

（1）由數(shù)列的定義，得，，， ，，，，，，，，∴，，，，
，，， ，，，
∴，，，，，
∴集合中元素的個數(shù)為5.
（2）先證：，
事實(shí)上，①當(dāng)時，，，原等式成立；
②當(dāng)時成立，即，
則時，
，
綜合①②可得，于是，
，
由上式可知是的倍數(shù)，而，
∴是的倍數(shù)，
又不是的倍數(shù)，
而，
∴不是的倍數(shù)，
故當(dāng)時，集合中元素的個數(shù)為，
于是，當(dāng)時，集合中元素的個數(shù)為，
又，故集合中元素的個數(shù)為.
【考點(diǎn)定位】本小題主要考查集合、數(shù)列的概念和運(yùn)算、計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識，考查探究能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的推理論證能力.