Question

設S_n是等比數列{a_n}的前n項和，S₃，S₉，S₆成等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的公比q；
（Ⅱ）求證：a₃，a₉，a₆成等差數列；
（Ⅲ）當a_m，a_s，（m，s，t∈[1，10]，m，s，t互不相等）成等差數列時，求m+s+t的值．

Answer 1

（Ⅰ）當q=1時，S₃=3a₁，S₉=9a₁，S₆=6a₁，
∵2S₉≠S₃+S₆，∴S₃，S₉，S₆不成等差數列，與已知矛盾，
∴q≠1．（2分）
由2S₉=S₃+S₆得：2•

a1(1-q9)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

，（4分）
即2（1-q⁹）=（1-q³）+（1-q⁶）?2q⁶-q³-1=0，
∴q3=-

1

2

?q=-

3	1 2

，q³=1?q=1（舍去），∴q=-

3 4

2

（6分）
（Ⅱ）∵2a₉-a₃-a₆=2a₁q⁸-a₁q²-a₁q⁵=a₁q²（2q⁶-1-q³）=0，
∴2a₉=a₃+a₆，∴a₃，a₉，a₆成等差數列．（9分）
（Ⅲ）S₃，S₉，S₆成等差數列?2q⁶-q³-1=0?2q⁶=q³+1?2a₁q⁶=a₁q³+a₁?2a₇=a₄+a₁，
∴a₁，a₇，a₄成GP或a₄，a₇，a₁成GP，則m+s+t=12，（11分）
同理：a₂，a₈，a₅成GP或a₅，a₈，a₂成GP，
則m+s+t=15，a₃，a₉，a₆成GP或a₆，a₉，a₃成GP，
則m+s+t=18，a₄，a₁₀，a₇成GP或a₇，a₁₀，a₄成GP，
則m+s+t=21，∴m+s+t的值為12，15，18，21．　（15分）