【題目】已知拋物線
：
（
）的焦點是橢圓
：
（
）的右焦點，且兩曲線有公共點
（1）求橢圓的方程；
（2）
為坐標原點，
，
，是橢圓上不同的三點，并且為
的重心，試探究的面積是否為定值.若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.
【答案】（1）
；（2）見解析.
【解析】試題分析：（1）將點
代入拋物線得拋物線焦點，進而得橢圓中
，再將點代入橢圓求解即可；
（2）當直線
的斜率不存在時，得
；當直線的斜率存在時，設直線：
，與橢圓聯(lián)立得：
，設
，由韋達定理得
，
為
的重心， 
，點
點在橢圓上，所以代入橢圓可得
，由
，到的距離為
，得
代入求解即可證得.
試題解析：
（1）將點代入
可得
拋物線
的焦點為
，
橢圓
中又點在橢圓上，
，
解得
橢圓：
（2）當直線的斜率不存在時，
關于
軸對稱，
為的重心，
為橢圓長軸頂點，
，到的距離為
.
.
當直線的斜率存在時，設直線：，聯(lián)立方程
，消
得有兩不等實根
.
設，
，
.
又為的重心， 
，
又點在橢圓上， 
，得
.
到的距離為
.
的面積為定值
.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費
（單位：千元）對年銷售量
（單位：
）和年利潤
（單位：千元）的影響，對近13年的宣傳費
和年銷售量
數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．
由散點圖知，按
建立關于的回歸方程是合理的．令
，則
，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：
|
|
|
|
|
|
10.15 | 109.94 | 0.16 | -2.10 | 0.21 | 21.22 |
（1）根據(jù)以上信息，建立關于
的回歸方程；
（2）已知這種產(chǎn)品的年利潤與
的關系為
．根據(jù)（1）的結(jié)果，求當年宣傳費
時，年利潤的預報值是多少？
附：對于一組數(shù)據(jù)
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（1）求證：函數(shù)
是偶函數(shù)；
（2）當
求函數(shù)在
上的最大值和最小值；
（3）若對于任意的實數(shù)
恒有
求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】響應“文化強國建設”號召，某市把社區(qū)圖書閱覽室建設增列為重要的民生工程.為了解市民閱讀需求，隨機抽取市民200人做調(diào)查，統(tǒng)計顯示，男士喜歡閱讀古典文學的有64人，不喜歡的有56人；女士喜歡閱讀古典文學的有36人，不喜歡的有44人.
（1）能否在犯錯誤的概率不超過0.25的前提下認為喜歡閱讀古典文學與性別有關系？
（2）為引導市民積極參與閱讀，有關部門牽頭舉辦市讀書交流會，從這200人中篩選出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜歡古典文學.現(xiàn)從這9名代表中任選3名男代表和2名女代表參加交流會，記
為參加交流會的5人中喜歡古典文學的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望
．
附：
，其中
．
參考數(shù)據(jù)：
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 |
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的方程是
，曲線
的參數(shù)方程是
（
為參數(shù)）．以坐標原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求直線與曲線的極坐標方程；
（2）若射線
與曲線交于點
，與直線交于點
，求
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（
，
為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）若曲線
在點
處的切線垂直于
軸，求實數(shù)
的值；
（2）當
時，求函數(shù)
的最小值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若
恒成立，試確定實數(shù)
的取值范圍；
（3）證明：
.
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