Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°
（I）求證：PB⊥AD；
（II）若PB= ， 求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
證明：（Ⅰ）取AD的中點E，連接PE，BE，BD．
∵PA=PD=DA，四邊形ABCD為菱形，且∠BAD=60°，
∴△PAD和△ABD為兩個全等的等邊三角形，
則PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，
又PB平面PBE，∴PB⊥AD；
（Ⅱ）解：在△PBE中，由已知得，PE=BE=，PB=，則PB2=PE2+BE2 ，
∴∠PEB=90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；
以點E為坐標原點，分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
則E（0，0，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），
則=（1，0，），=（﹣1，，0），
由題意可設平面APD的一個法向量為=（0，1，0）；
設平面PDC的一個法向量為=（x，y，z），
由 得：，
令y=1，則x=，z=﹣1，∴=（，1，﹣1）；
則=1，∴cos＜,＞===，
由題意知二面角A﹣PD﹣C的平面角為鈍角，
所以，二面角A﹣PD﹣C的余弦值為﹣

【解析】（Ⅰ）證明：取AD的中點E，連接PE，BE，BD．證明AD⊥平面PBE，然后證明PB⊥AD；
（Ⅱ）以點E為坐標原點，分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，求出平面APD的一個法向量為=（0，1，0），平面PDC的一個法向量為 ， 利用向量的數量積求解二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的性質的相關知識，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行．