Question

（本小題滿分12分）
從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50名測量身高，測量發現被測學生身高全部介于155 cm和195 cm之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組[155,160)、第二組[160,165)、…、第八組[190,195]，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數相同，第六組、第七組、第八組人數依次構成等差數列．

(1)估計這所學校高三年級全體男生身高180 cm以上(含180 cm)的人數；
(2)求第六組、第七組的頻率并補充完整頻率分布直方圖；
(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為x、y，求滿足|x－y|≤5的事件概率．

Answer 1

（1）144人
（2）略
（3）

解：(1)由頻率分布直方圖知，
前五組頻率為(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，
后三組頻率為1－0.82＝0.18，人數為0.18×50＝9人，
這所學校高三男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人數為800×0.18＝144人．…4分
(2)由頻率分布直方圖得第八組頻率為0.008×5＝0.04，人數為0.04×50＝2人，
設第六組人數為m，則第七組人數為9－2－m＝7－m，又m＋2＝2(7－m)，所以m＝4，
即第六組人數為4人，第七組人數為3人，頻率分別為0.08,0.06.
頻率除以組距分別等于0.016,0.012，見圖．
 ………………8分
(3)由(2)知身高在[180,185)內的人數為4人，設為a，b，c，d.身高在[190,195]的人數為2人，設為A，B.
若x，y∈[180,185)時，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六種情況．
若x，y∈[190,195]時，有AB共一種情況．
若x，y分別在[180,185)，[190,195]內時，有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB共8種情況．
所以基本事件的總數為6＋8＋1＝15種．
事件|x－y|≤5所包含的基本事件個數有6＋1＝7種，故P(|x－y|≤5)＝……12分