Question

【題目】已知橢圓的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個項點，點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)不過原點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，線段的中點為，直線與橢圓交于，證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由題意可得，再把已知坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合隱含條件求得的值，即可求解橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出弦長及中點坐標(biāo)，得到所在的直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立，求得的坐標(biāo)，分別化簡和，即可證明結(jié)論．

試題解析：（1）由已知，，又橢圓過點，

故，解得，∴，

所以橢圓的方程是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）設(shè)直線的方程為，

由方程組得，①

方程① 的判別式為，由，即，解得．

由①得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

所以點坐標(biāo)為，直線方程為．

由方程組得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

所以，

又

．

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分